求证：在直径为d的圆的内接矩形中，面积最大的是正方形，这个正方形的面积等于1/2d²

在圆内任意画一矩形ABCD，画任意一对角线为AC，作BE垂直于AC,垂足为E,
1,矩形ABCD的面积等于2倍的三角形ABC的面积，=2*1/2*AC*BE=AC*BE
2,根据直角所对的弦为直径，那么AC为直径AC=d,
矩形面积 Sabcd=BE*d,即当BE最大时此矩形的面积最大
3，根据圆中所有的弦，直径最大，所以当E在圆点BE最大，即BE=1/2d
所以最大Sabcd=1/2d*d
4，已证明矩形面积最大时E点在圆心，E点在圆心就不难证明此矩形为正方形了吧，
综上所述，得证！

假设正方形ABCD的边长为a,p点到A的距离为1，到B点的距离为√7，到C点的距离为3，现过点分别向AB、AC做高h1,h2立方程组如下：
h1^2+h2^2=1 （1）
h2^2=7-(a-h1)^2 （2）
h1^2=9-(a-h2)^2 （3）将（1）代入（2）、（3）
得：h1=(a^2-6)/2a h2=(a^2-8)/2a 在代入（1）
解得方程组：a^2=8+√14 或a^2=8-√14
因为P在正方形内，所以有 3<a<1+3=4,所以9<a^2<16
故正方形的面积为8+√14

假设正方形ABCD的边长为a,p点到A的距离为1，到B点的距离为√7，到C点的距离为3，现过点分别向AB、AC做高h1,h2立方程组如下：
h1^2+h2^2=1 （1）
h2^2=7-(a-h1)^2 （2）
h1^2=9-(a-h2)^2 （3）将（1）代入（2）、（3）
得：h1=(a^2-6)/2a h2=(a^2-8)/2a 在代入（1）
解得方程组：a^2=8+√14 或a^2=8-√14
因为P在正方形内，所以有 3<a<1+3=4,所以9<a^2<16
故正方形的面积为8+√14