三角形内最大矩形的面积

△内面积最大的矩形，其长边必是△最大的边，设△ABC，AB≥BC≥AC，设矩形为DEFG，矩形的长边DE在AB上，DG交AC于G点，EF交BC于F点，则
DE=GF，DG=EF
AD=DG*ctanA，BE=EF*ctanB=DG*ctanB
AD+BE+DE=AB
DE=AB-AD-BE=AB-DG（ctanA+ctanB）

DE*DG=[AB-DG（ctanA+ctanB）]DG
=-（ctanA+ctanB）*[DG-AB/（2ctanA+2ctanB）]^2+AB^2/(4ctanA+4ctanB)
三角形内最大矩形的面积=AB^2/(4ctanA+4ctanB)
注:AB是△的最大边长

从某个顶点向其对边作高，以垂足为原点高和底边作为两个坐标轴，可以很容易得到另外两条边所在直线的解析式，然后以在y轴（也就是高上取一个点设这个点是（x，0）过这一点作底边平行线，求出平行线与两外两边的交点，进而求出内接矩形面积（是一个x的函数表达式，一个二次函数），最后求出这个函数的最大值

请问：已知条件

直角三角形内任意长方形面积最大等于该三角形的一半

直角三角形ABC，C为直角，AC=b,BC=a
S△ABC=ab/2

两种情况：
1）长方形两条边在直角边,C为一个顶点，另以顶点M在AB上 在AC点P，BC点Q
CP=X,PA=b-x
MP=tanA*PA=a(b-x)/b ，0<x<b
S长方形=x*a(b-x)/b
=-a/(b)(x-b/2)^2+ab/4
x=b/2 ，S长方形最大=ab/4=1/2S△ABC
0<S长方形<=1/2S△ABC
2)长方形一条边在AB上，在AC点P，BC点Q
CP=X ，CQ=tanA*X=ax/b,长PQ=√(a^2+b^2)x/b
宽MP=sinA*AP=a/√(a^2+b^2)*(b-x)
S长方形 =√(a^2+b^2)x/b*a(b-x)/(a^2+b^2)
=-a/