一道求椭圆离心率的问题（有两线相切）

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/02 16:41:05
设F1,F2为椭圆(a>b>0)的两个焦点,以F1为圆心且过椭圆中心的圆与椭圆的一个交点为M,若直线F2 M与圆F1相切,则椭圆的离心率是？

让我弄懂了可以加分！！
答案不是二分之一

解:由以F1为圆心且过椭圆中心,可知圆的半径OF1=MF1=c

点M在椭圆上,由椭圆第一定义可知MF1+MF2=2a

所以MF2=2a-MF1=2a-c

又因为直线F2 M与圆F1相切,可知三角形F1MF2为直角三角形

所以MF2^2+MF1^2=F1F2^2

即(2a-c)^2+c^2=(2c)^2

所以2a^2-2ac-c^2=0

方程两边同时除以a^2整理得:(c/a)^2+2c/a-2=0

即e^2+2e-2=0

e=-1±√3

又0<e<1

所以e=-1+√3

因为小圆过椭圆中心且与椭圆有一个交点` 就是说焦点到M和椭圆中心距离相等
所以a=2c` 则e=c/a=1/2