一道数学题(高分求解,详细过程）

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/11 22:30:33
在矩形ABCD中，连接AC.DB，交于点E，过点E作BC的垂线，交BC与F。连接FD，交AC于G。过点G作BC的垂线，交BC于H。
求证：3HC＝BC

因为EF平行CD所以三角形EFG相似于三角形CDG
因为CD=2EF 所以CG=2GE
所以CH=2FH 所以HC=2/3CF=2/3(1/2CB)=1/3BC
所以就有3HC=BC

证明：
延长AD到I，使DI=AD/2,连结CI
∵四边形ABCD是矩形
∴BE=CE
又∵EF⊥BC
∴FC=BC/2=AD/2=DI
因为AI‖BC
∴四边形DFCI是平行四边形
∴DF‖CI
∴AD/DI=AG/GC=2:1
∵GH⊥BC
∴AB‖GH
∴AG/GC=BH/HC
∴BH/HC=2:1
∴(BH+HC)/HC=BC/HC=3:1
∴3HC=BC

容易证得：三角形EFG相似于三角形CDG，有：FG/GD=EF/CD
又，E是BD的中点，所以有：EF=1/2CD
即：FG/GD=1/2
因为，GH//CD，所以有：FH/HC=FG/GD=1/2
即：HC=2FH，又：FH=FC-HC=1/2BC-HC
所以有：HC=2（1/2BC-HC）=BC-2HC

即：3HC=BC