求cos(na) 的以 cos（a）为单位的展开式。

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/14 03:49:55
cos(2a)=[cos(a)]^2-1
cos(3a)=4[cos(a)]^3-3cos(a)
cos(4a)=8[cos(a)]^4-8[cos(a)]^2+1
cos(5a)=16[cos(a)]^5-20[cos(a)]^3+5[cos(a)]

那么有没有通用的公式？如何推导？
以上计算推导利用了
sina^2=1-cosa^2
cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb
sina*sinb=-0.5*(cos(a+b)-cos(a-b))
然后一个个递推太烦了
。。。
用复数
设
Z=cosa+sina i
那么Z^2 = cos2a+sin2ai=(cosa+sinai)(cosa+sinai)=..
这样做也太烦经常遇到sin(na)转换为H(cos(a))的形式

那么傅立叶呐？
估计给出公式用归纳法证明还是简单的
参考知道上的回答
cos na无法展开，已经是最简，或者说

n=2时
根据cos(a+b)=cosacosb-sinasinb
cos 2a =cos(a+a)=(cos a)^2-(sin a)^2
sin 2a=2sinacosa
但是如果是说这种，那么n一定要为整数
则
cos 3a=cos (2a+a)=cos2acosa-sin2asina
=cosa(cosa^2-sina^2)-2(sina)^2*cosa
=cosa^3-3sina^2*cosa
cos 4a=cos(2a+2a)=(cos2a)^2-(sin2a)^2
=cosa^4+sina^4-6(cosa)^2*(sina)^2
可以看出，当n分别是奇数偶数的时候，结果不同……

更贪心一点而
能否求
cos( (n/m)a)= H(cos(a)) H为以cos(a)为参数的莫个
多项式？
估计m最大为13吧，其他情况估计是不行的

好像没有显式，只能靠递推
cos(n+1)x=2cosxcosnx-cos(n-1)x
所以只要cosnx cos(n-1)x都用cosx表达了，那么cos(n+1)x就可以用cosx表达了
写得明白一点就是:
设cosnx=an,n*(cosx)^n+...+an,1*cosx+an,0
那么代入递推式，比较(cosx)^k项的系数，有
an+1,n+1=2*an,n (借此很容易知道an,n=2^(n-1))
an+1,k=2*an,(k-1)-an-1,k(k=n,n-1,...,0)
由此可见an,0还是有规律的:0,-1,0,1,0,-1,0,1,...
但是一般的an,k好像真的是没有显式，lz好运

方法一：递归分解
cosnx
=cos((n-1)x+x)
=cos(n-1)xcosx-sin(n-1)xsinx
=.....
方法二：复数法
cosnx是(cosx+isinx)^n的实部，
则cosnx=(cosx)^n+C(n)(2)*(cosx)^(n-2)(isinx)^2+.....
二项展开