余数定理

多项式余数定理是指一个多项式 f(x) 除以一线性多项式 x - a 的余数是 f(a)。
例如，(5x3 + 4x2 - 12x + 1) / (x - 3) 的余数是 5(3)3 + 4(3)2 - 12(3) + 1 = 136
例题：
在纽约一个帕特里克节日里，一大群爱尔兰人正准备一年一度的游行，指挥者试图把队伍排成10、9、8、7、6、5、4、3、和2路整齐的队伍前进，但每种情况下最后一排者都少一个人，因此人们认为这个位置大概是给几个月前刚死的卡茜的灵魂留着的。最后，指挥者无可奈何命令队伍排单列纵队前进。假设游行队伍的总人数不超过5000人，那么参加此次游行的共计有多少人?这是一道寻找一系列数字的最小公倍数的极好的练习。这种情形下的最小公倍数是2520，如果去掉“卡茜”所占的位置，最终答案是2519。
如果每一次分配后剩下的人数是各不相同的，则问题似乎都比较困难。其实不然。比如追溯到十七世纪，印度算术课本上有这样一道难题：一位挎着一篮鸡蛋的妇女被疾驰而过的马所惊，鸡蛋篮掉在了地上，篮子里的鸡蛋全碎了。当问及篮子里有多少蛋时，她只能记起当她以2、3、4、5为一组数鸡蛋的数目时，每次分别剩余1、2、3、4只鸡蛋。那么她篮子里原来盛有多少鸡蛋呢?
这题乍看确实比上题难得多。实际上，它与我们做过的第二题的第一部分一样，因为在每种情形下，余数都比除数少1，因此与前面一样，它可以通过寻找最小公倍数再减去1来解决。
当余数与除数没有固定关系时，问题就会真正变得变杂了。下面是一道以这类题为基础，借助计算器来进行的魔术，你将发现它是既有趣又迷惑人的。
魔术师背对观众坐在一张椅子上，让某位观众心中随意想定一个不超过1000的数，然后用7去除这个数并报出余数；然后再用11去除原来想定的数，然后再用13去除，并都报出余数。
为加快这一魔术的进行，这位观众用袖珍计算器算出三个余数。其实这借助下面算法很容易解决：先完成除法，去掉商的整数部分，再将剩下的分数部分乘以原来的除数，得出的结果即为要找的余数。
魔术师不仅仅知道三个余数，他之所以能猜算观众想的那个数字，缘由在于他也使用了袖珍计算器和贴在计算器上面小纸条上的公式：即：
K