UC知道关于琴生(Jensen)不等式推论,Holder's等不等式的证明
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/28 00:53:16
证明：
1.Holder's不等式：|x(1)y(1)|+|x(2)y(2)|+...+|x(n)y(n)|≤(|x(1)|+|x(2)|+...+|x(n)|)^(1/p)*(|y(1)|+|y(2)|+...+|y(n)|)^(1/q)
其中，p∈N\{0},1/p+1/q=0
2.Minkowski's不等式：(|x(1)y(1)|^p+|x(2)y(2)|^p+...+|x(n)y(n)|^p)^(1/p)≤(|x(1)|^p+|x(2)|^p+...+|x(n)|^p)^(1/p)+(|y(1)|^q+|y(2)|^q+...+|y(n)|^q)^(1/q)
其中，p∈N\{0}
1.令ai=|xi|/(|x1|^p+|x2|^p+...+|xn|^p)^(1/p)，bi=|yi|/(|y1|^p+|y2|^p+...+|yn|^p)^(1/q)----lz抄错题了，自己看看
那么只要证明a1b1+a2b2+...+anbn<=1就行了。条件是a1^p+a2^p+...+an^p=1,b1^q+b2^q+...+bn^q=1
而由lz提供的琴声不等式得akbk=(ak^p)^(1/p)(bk^q)^(1/q)<=ak^p/p+bk^q/q
所以，只要令k从1到n求和并注意1/p+1/q=1就得证
2.lz，Minkowski's不等式不是你说的这个样子，而且你令n=1就知道你写的这个根本不成立。Minkowski's不等式是这个样子：：{∑(ak + bk)r}1/r ≤ {∑akr}1/r + {∑bkr}1/r
证明如下：先记A={∑akr}1/r,B={∑bkr}1/r
然后令xk=ak/A,yk=bk/B.则∑xk^r=1=∑yk^r.只要证明
{∑(A*xk + B*yk)r}1/r<=A+B。设u=A/(A+B)，v=B/(A+B)。则u+v=1
只要证∑(u*xk + v*yk)r<=1就行了
而这就很简单了，利用琴生不等式得(u*xk + v*yk)r<=u*xk^r+v*yk^r
令k从1到n求和就行了
1.令ai=|xi|/(|x1|^p+|x2|^p+...+|xn|^p)^(1/p)，bi=|yi|/(|y1|^p+|y2|^p+...+|yn|^p)^(1/q)----lz抄错题了，自己看看
那么只要证明a1b1+a2b2+...+anbn<=1就行了。条件是a1^p+a2^p+...+an^p=1,b1^q+b2^q+...+bn^q=1
而由lz提供的琴声不等式得akbk=(ak^p)^(1/p)(bk^q)^(1/q)<=ak^p/p+bk^q/q
所以，只要令k从1到n求和并注意1/p+1/q=1就得证
2.lz，Minkowski's不等式不是