高中数学题，对数

设函数g(x)=f(x)/x=(log2(x+1))/x
要原命题成立，则需函数g(x)在x>0上单调递减即可
设x1>x2>0,则有f(x1)-f(x2)=(log2(x1+1))/x1-(log2(x2+1))/x2
=(x2log2(x1+1)-x1log2(x2+1))/(x1x2)
则要此式小于零就可，由于分母x1x2必大于零，就只要分子小于零
此式的分子 x2log2(x1+1)-x1log2(x2+1)=log2(((x1+1)^x2)/((x2+1)^x1)))
要证((x1+1)^x2)/((x2+1)^x1))<1,只需(x1+1)^x2<(x2+1)^x1
两边同时除以(x1+1)^x1,即需证(x1+1)^(x2-x1)<((x2+1)/(x1+1))^x1
因为x1>x2>0，则有x1+1>1,x2-x1<0,x2+1<x1+1
即可得 (x1+1)^(x2-x1)<1<((x2+1)/(x1+1))^x1
即 (x1+1)^(x2-x1)<((x2+1)/(x1+1))^x1得证
即原命题得证。

其实关于这题可以用导数，因为f(a)/a,f(b)/b和f(c)/c都是斜率
对f(x)=log(x+1)求导得f'(x)=1/ln（x+1）,f'(x)单调递减，而a>b>c>0，所以
f'(a)<f'(b)<f'(c),即f(a)/a<f(b)/b<f(c)/c
简单吧~~

f'(a)<f'(b)<f'(c),即f(a)/a<f(b)/b<f(c)/c

啊 还是这种题