a×b+a+2b=30,a,b>0求a×b的最大值

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/09 08:31:32
如果用原式=30>=a*b+2（根号下2ab） 能求出a,b的值，但首先这样用就触犯了基本不等式的使用条件“定”（积或和），但为什么能这样用？

如果这样用是错的，那该怎么做？

帮忙解释一下！谢谢

30≥ a*b+2√2 √ab
设 √ab = t
30 ≥ t^2 + 2√2 t
32 ≥ (t + √2)^2
4√2 ≥ t + √2
t ≤ 3√2
ab ≤ 18

最大值时的 a b 值
ab = 18
ab + a + 2b = 30

ab = 18
a + 2b = 12

(12 - 2b)b = 18
(6 -b)b = 9
b^2 - 6b + 9 = 0
b = 3
a = 6

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估计上面解法中， 你依然有疑惑。那就再换一种方法。
a×b+a+2b=30,a,b>0求a×b的最大值

设 a*b = Y ，则 b = Y/a， 代入到已知式子中
Y + a + 2Y/a = 30
Y(1 + 2/a) = 30 -a
Y = a(30 -a)/(a+2) = (30a - a^2)/(a+2)
问题转化为 Y 是 a的函数，自变量a>0。求Y 在定义域上的极值。
用初等数学或许可求。但 导数是万能钥匙，既然你会。

Y' = -(30a -a^2)/(a+2)^2 + (30-2a)/(a+2)
= [(a^2 - 30a) + (30 - 2a)(a+2)]/(a+2)^2
分子为
a^2 - 30a - 2a^2 + 26a + 60
= -a^2 - 4a + 60
= -(a + 10)(a-6)
a = -10 和 a = 6 时 取极值
a < -10， Y' < 0
6 > a > -10, Y' > 0
a = -10 处, Y 取极小值。
a > 6 时，Y' < 0
所以 a = 6 ， Y 取极大值。 <