初三一道梯形动点题（24：00截止,好的加分）

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/31 14:40:16
如图，在梯形ABCD中，AD//BC,AB=DC,AD=6,BC=12,梯形ABCD的面积为36，动点P从D点出发沿DC以每秒1个单位的速度向终点C运动，动点Q从C点出发沿CB以每秒2个单位的速度向点B运动，两点同时出发，点P到达点C时，Q点随之停止运动。（1）设P、Q运动时间为t(0（2）是否存在某一时刻，时以P、Q、C三点为顶点的三角形是直角三角形，若有，请求出相应的时间。（这个有两种情况！）附图：

5和10

AD=6,BC=12,由梯形的面积为36可知，梯形的高为：h=36*2/(12+6)=4
过D点向BC作垂线DE，不难求得EC=3，ED=4，因此DC=5。

(1)，在t时刻，P点距D点的距离为t，Q点距C点的距离为2t。
过P点作BC的垂线PF，垂足为F，则三角形PFC与三角形DEC相似，因此PF/PC=DE/DC。其中PC=(5-t)，DE=4，DC=5
于是PF=4*(5-t)/5。
因此三角形PQC的底边长为QC=2t，高为PF=4*(5-t)/5，面积的函数为：
S=2t*4*(5-t)/(5*2)=4t-4t^2/5

(2)，三角形PQC为直角三角形有两种情况，第一种情况是PQ与BC垂直，第二种情况是PQ与DC垂直。
第一种情况，实际上就是求(1)问中的F点与Q点重合的时间。
由(1)问的分析可知，PFC与DEC相似，所以FC/PC=EC/DC
求得FC=3/5*(5-t)，QC的长度为2t
因此解方程：3(5-t)/5=2t，t=15/13

第二种情况，过Q点向CD作垂线QG，G为垂足。要使三角形QPC是直角三角形，即是使G和P重合。
三角形QGC与三角形DEC同为直角三角形且角C相同，因此它们相似。
所以GC/QC=EC/DC，其中QC=2t，EC=3，DC=5
因此GC=6t/5
而PC=5-t
因此解方程6t/5=5-t
t=25/11

综上，当t=15/13或t=25/11时，三角形PQC是直角三角形。