形如 f(θ)=1 的函数叫什么函数？介绍一下

§1隐函数
教学目的:理解隐函数概念,掌握隐函数存在与可微性定理,会求隐函数的偏导数.
教学重点:本节的重点是隐函数存在与可微性定理,隐函数偏导数的求法.
教学过程:
一.隐函数概念
形如:的函数为显函数.特点:用自变量的某个算式表示因变量.
还有一类函数,自变量与因变量之间的对应法则由一个方程所确定.这样的函数叫隐函数.如果是由方程所确定的隐函数,则
如,方程 .
方程.
说明:(1)并非任意一个方程都能确定隐函数.如,不能确定隐函数
或 .
(2)若方程能确定隐函数,则的表达式不一定能求出.
如,可以证明方程 ,能确定隐函数,但的表达式求不出.
下面讨论方程 在什么条件下存在隐函数 并讨论的连续性,可微性.
隐函数存在条件的分析
首先,满足 的点集 ,可看作曲面与
平面 的交集.因此,若方程能确定隐函数,E必须非空,即存在点,使.
其次,若方程在附近确定一个连续函数,则E为过的连续曲线.若曲面在存在切平面,且切平面与平面 相交于一直线.为此,可设在可微,且
.
隐函数定理
定理18.1(隐函数存在惟一性定理)若满足下列条件:
(1) 在以为内点的某一区域上连续;
(2);
(3)在内连续;
(4).
则在内,方程惟一地确定了一个定义在内的隐函数,使得
≡0.
在内连续.
证 先证隐函数的存在性与惟一性.
由于,不妨设>0 (否则讨论-).又在连续,由保号性定理,存在的方邻域:,在此邻域上,
> 0.,关于在上严格增加.又,
,故
在上连续,从而在连续.于是存在,
恒有,再由关于在上严格增加且连续知,存在惟一的,使得.这确定了一个定义在
上的隐函数 ,其值域含在内.记
,则满足的要求.
再证隐函数的连续性..下证在连续.由 知,对任意,且满足:
,有, .由保号性,
,当 .再由介值定理及的单调性,存在惟一的,使得.即,当
时,.故在连续
说明:1.