一道较有思维深度的集合题,望不吝赐教!

来源:百度知道 编辑:UC知道 时间:2024/06/16 01:21:15
集合M=(1,2,3......2008)(这是大括号),若集合X是M的子集,集合X不为空集,a为X中最大数与最小数的和(若集合X中只有一个元素,则此元素既为最大数,又为最小数),那么,对M的所有非空子集X,全部a的平均值为多少?
1L:不好意思,答案是2009。
大家一定要说理由,不能只写答案!

2009
楼主嫌答案简单了:) 修改详细点吧
呵呵,其实我想的确实很简单
集合M={1,2,3......2008}
不管怎么取子集,1和2008被取到做最大最小值的机会相等,假设各取了m次
那么a由这部分组成的平均值就是(1xm+2008xm)/m=2009
同理2和2007被取做最大最小值的机会又相等,平均值又是2009
以此类推....
最后a的平均值还是2009

这样行不,把集合里的元素看作2008个变量,有放回的随意抽取两个,记为X、Y,构成一个子集,两次实验相互独立,每次实验期望E=1004.5,该实验期望E(X+Y)=EX+EY=2009

设所有子集的最小数之和为A,最大数之和为B,这样的非空子集有N个.
所求即X=(A+B)/N.

注意到集合M'=(2008,2007,2006,...,1),M和M‘的元素之间可以建立一个一一对应:a->2009-a;
相应的子集也可以做这样的对应,例如:{1,2,5}->{2008,2007,2004}.
类似的可以对M'定义它的所有子集的最小数之和为A’,最大数之和为B‘,这样的非空子集有N’个。由于上述对应关系可知A'=2009N-B, B'=2009N-A,N'=N.
于是X'=(A'+B')/N'.
又因为M=M',可知X=X',即
(A+B)/N=(A'+B')/N',
故X=(A+B)/N=((2009N-B)+(2009N-A))/N=2*2009-(A+B)/N=2*2009-X
所以X=2009.

X一共有(2的2008次方-1)个 其中每个数作为最大或最小值出现次数都应是
2*(2的2008次方-1)/2008
所以平均值应是 (1+2+...+2008)* 2*(2的2008次方-1)/2008
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