求恰好有9九个约数的最小自然数和最大的三位数。

令n的标准分解式为n=2^p1*3^p2*5^p3*…(其中p1，p2，p3……为指数)
则有9=(p1+1)(p2+1)(p3+1)…
由于9=9*1=3*3；(有且只有这两种分解形式)
要使n最小，则必先满足下标最小的p；
即9=9*1时9*1=(p1+1)(p2+1)…
得到p1=8，其他全为0；此时n=2^8=256；
当9=3*3时，3*3=(p1+1)(p2+1)…
得到p1=2，p2=2，其他全为0；此时n=2*2*3*3=36；
显然36是最小的！
由上面的结果还可以得到
若n有9个约数，则n=p^8或者p^2*q^2(这里p<q都为素数)
n=p^8时比较简单，当p=2时n=256为最大的三位数(p=3时3^8=6561>1000了)
n=p^2*q^2时;一个一个试过去
p=2时q=13，n=676；
p=3时q=7，n=441；
p=5时q<7,此时会得到q<=p,与所设的p<q矛盾！
比较上面的几个结果得到
恰有九个约数的最大三位数是676
所以题目的答案是36和676！