高数，证明~~

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/06 17:49:12
设函数f(x)在[0，+∞)具有一阶连续导数，在(0，+∞)内二阶可导，f(0)=0,f'(0)>0,f''(x)<=-k,k为大于0的常数，求证函数f(x)在(0，+∞)内仅有一个零点
感谢各位，答案我看过了，很明显，1，2，4楼都是看着函数图形来证的，这个函数上凸，我也知道，递减并上凸肯定有零点，这是几何事实，但是只有三楼用函数的语言证明了这个事实，这是证明题的关键，所以不好意思，分给三楼了，
其实三楼的解法我会，我的本意是找一个纯中值定理而不要泰勒展开的方法，如果哪位有，再加100分,所以三楼，你再等一阵子，不好意思

先证零点的存在性
f(0)=0,f'(0)>0，故存在x0，使得f(x0)>0 （由导数的极限式定义可得，不再展开）
由于f(x)在[0，+∞)具有一阶连续导数 ，根据泰勒公式
f'(x)=f'(0)+f''(ξ)x≤f'(0)-kx
当x→+∞时f'(0)-kx→-∞
因此，存在M1>0,c1>0,当x>M时f'(x)<-c1
由于f(x)在[0，+∞)为连续函数，并且导数存在，根据泰勒公式
f(x)=f(0)+f'(ξ)x≤-c1x
当x→+∞时-c1x→-∞
因此，存在M2>0,当x>M2时f(x)<0
故存在点x1>M2，使得f(x1)<0
在（x0,x1）上f(x)连续，所以存在零点
再证零点的唯一性
假设存在两点x1,x2都为f(x)的零点（用罗尔定理）
那么f(x)在[0，+∞)上就有三个零点
f’(x)在[0，+∞)上就有两个零点
f"(x)在[0，+∞)上就存在零点
这与“f''(x)<=-k,k为大于0的常数”矛盾

楼主 由于这边输入法的限制，我也只能说说了，希望你能理解我的思路，我只想让你明白就行了，过程我不好写，

你说的递减是不一定有零点，但是题目由于告诉你f''(x)<=-k，就是他的二介导是小与零的，就是说在任何一点他的二介导都小于零，我门知道二介导小于零表示曲线是凹的，就是说就是说曲线是一直向下弯的，不可能到最后向你说的那个函数趋向于水平。这个函数知道最后斜率应该趋向负无穷的，你可以在我这个基础上加上一楼的证明，可以说还是可行的

二楼说的反证法有误，反证法 可以这样子
假设存在2个零点，这加上f(0)=0就有3个零点，有罗尔定理，则必然有f'(x1)=0,f'(x2)=0
再一次罗尔定理可得存在x使得f''(x)=0，这比题目矛盾。