如图,正方形ABCD的边长为a,以AB为直径作半圆O,过点C作半圆的切线交AD于F,切点

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/30 02:22:00
32.如图，正方形ABCD的边长为a，以AB为直径作半圆O，过点C作半圆的切线交AD于F，切点为E．
（1）求证：OC⊥OF；

（2）求Rt△DCF的周长和面积．

连接OE
则有
直角三角形CEO与CBO全等
直角三角形AOF与EOF全等
角AOF=角EOF
角COE=角BOC
所以
角COF=角EOF+角COE=180度/2=90度
OC⊥OF

2.在直角三角形BOC中
OC=根号（a*a+0.5a*0.5a)
=a*根号1.25
EC=根号(1.25a^2-0.25a^2)
=a
tan角FCO=0.5a/a=0.5=tan角FOE
故：FE=AF=1/2*OE=0.25a
FD=a-0.25a=0.75a
Rt△DCF的周长=a+0.75a+0.25a+a=3a
面积=1/2*a*0.75a=0.375a^2

设AF=X
EF=X,DF=a-x
CE=BC=a
直角三角形CDF中
（a+x)²=a²＋(a-x)²
x=a/4
OF=√5／4a
OC=√5／2a
FC=a+a/4=5/4a
OF²＋OE²=CF²

Rt△DCF的周长=a+3/4a+5/4a=3a
面积=1/2*a*3/4a=3/8a^2