已知ABCD是边长为a的正方形，且PD=a，PA=PC=根号2a

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/12 11:02:29
（1）求证：PD⊥平面ABCD
（2）设M为PD的中点，求证：PB‖平面AMC
（3）求异面直线AC与PB所成的角

(1)证明:
由题意
PD^2+AD^2=PA^2
所以三角形PAD是直角三角形,且∠PDA是直角
即PD⊥PA
同理,PD⊥DC
又AD∩DC=C
所以PD⊥平面ABCD
(2)证明:
连结BD交AC于O
连结MO
因为M、O分别是PC、DB的中点，
所以MO‖PB
又MO在平面AMC内
所以PB‖平面AMC
(3)解:
因为MO‖PB
所以∠DOA是异面直线AC与PB所成的角
由(1)可知,△PAD≌△PCD
所以AM=CM
又O是AC的中点,
所以DO⊥AC
所以∠DOA=90°
即PB⊥AC
所以异面直线AC与PB所成的角为90°