若f(x)是以T为周期的奇函数

这个，在百度上不好打数学式子，可以这样，在[0,T/2]上的积分，等于[-T,-T/2]，因为这两个区间上，函数的值和变化趋势一样，周期函数嘛。
所以[-T/2,T/2]上的积分，相当于[-T,-T/2]和[-T/2,0]上的积分和，就相当于[-T,0]的积分

令u=x+T
设∫f(x)dx=F(x)+c

∫f(x)dx=∫f(x+T)dx=∫f(u)du=F(u)+c=F(x+T)+c
F(x)是周期函数。
F(-T)=F(0)
F(-T/2)=F(T/2)
好了，容易得到 相等

不一定相等
f(x)为奇函数，所以在[-T/2,T/2]上的定积分为0
而在[-T,0]上的定积分不一定为零