高等数学问题(急)

函数f(x)=1/(1+x^2).
用分点将区间[0,1]平均分成n份，分点是
x[k]=k/n,k=1,2,...,n.
利用定积分的定义，和式
∑{f(x[k])*(1/n),k=1...n}
当n->∞时的极限等于定积分
∫{f(x)dx,[0,1]}
而f(x[k])*(1/n)＝n/(n^2 +k^2)，通项相等，也就是说你的式子等于上面的和式。
于是
lim[n/(n^2 +1^2) +n/(n^2 +2^2)+n/(n^2+3^2)+……n/(n^2 +n^2),n->∞]
=∫{f(x)dx,[0,1]}
=∫{1/(1+x^2)dx,[0,1]}
=arctan1-arctan0
=π/4

回复1楼，每一项都趋于0，原极限不一定趋于0！
用夹逼法很容易得出是介于1/2和1的一个数，至于算出是π/4，我无能为力。估计要转换成定积分来做，不过我已经忘了，哎…不好意思了！

把每一项的分子分母都除以n^2就知道啦
n趋于无穷大时，分子上是0，分母上是大于1小于2的数，所以每一项都是0，最后的结果也是0

n/(n^2 +1^2) +n/(n^2 +2^2)+n/(n^2+3^2)+……n/(n^2 +n^2)
=1/n*[1/(1 +（1/n）^2) +1/(1+（2/n）^2)+1/(1+（3/n）^2)+……1/(1+n/n^2)]

由定积分的定义可知：这是
∫1/(1+x^2)dx (积分限0到1）
=arctanx|1-arctanx|0
=π/4

∫1/(1+x^2)dx(积分限0到1）
定积分的定义式：
∑1/n（1/1+（i/n）^2) i从1到n

每一项都趋于0，原极限不一定趋于0