抛物线y2=2x上求一点P 使点P到直线x-y+3=0的距离最短

设此点纵坐标是a
则x=a^2/2
(a^2/2,a)到直线距离=|a^2/2-a+3|/√(1^2+1^2)
a^2/2-a+3=(1/2)(a-1)^2+5/2>0
所以绝对值可以去掉
且a=1,a^2/2-a+3最小,即距离最小
a^2/2=1/2
所以P(1/2,1)

把直线平移至正好和抛物线相切，则切点就是距离最短的点
设切线是y=x+m
则y^2=x^2+2mx+m^2=2x
x^2+2(m-1)x+m^2=0
相切所以只有一个公共点，
所以判别式等于0
所以4(m-1)^2-4m^2=0
-2m+1=0
m=1/2
所以x^2-x+1/4=0
x=1/2,y=x+m=1
P(1/2,1)

设和直线x-y+3=0平行 相切于抛物线y2=2x 的在线方程：y=x+b
（x+b)^2=2x 只有一个解 。解就是切点
（2b-2)^2=4b^2 b=1/2

切点（1/2 ，1）