关于矩阵的对角化问题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/07 11:37:02
我想问的就是对于对称阵必然存在n个线性无关的特征向量，并且还是正交阵。那么如果我求出n个线性无关的特征向量，我不进行正交化，他应该还是能够是使矩阵A对角化的可逆矩阵，只不过不是正交阵罢了。（这样理解对否）。其次对于任何一个矩阵，如果告诉我们他的n个线性无关的特征向量，那么我可以对他正交化使之成为正交相似变化了？我的这种理解对否？所以第一个疑问换言之就是可使对称阵对角化的可逆矩阵可以不是正交阵。 而第二个问题等于说一般的矩阵只要可以对角化一定也能正交相似对角阵？我觉得我的第一个理解是对的，但第二个好像不对。请高手指点一下。

ps：我还想知道正交化是一个什么样的过程，（我指的不是公式或步骤，这个我懂得。）这个问题是针对第二个问题的。p正交化以后PAP逆就不等于对角阵了？

你的第一个理解和第2个理解都是对的
P正交化以后只是有P逆等于P的转置
PAP逆还是等于对角阵的
liuchuanren举的那个反例根本就是错误的
{{13, 28}, {-6, -13}}. 明显可以正交相似为对角阵

第一个理解是正确的. 事实上可以举个例子: 单位阵是对称阵, 任何可逆阵均可把单位阵对角化.
第二个理解错误. 仍然考虑对角阵为例子, 比如 {{1,0},{0,-1}}. 我们取另外一个矩阵 {{13, 28}, {-6, -13}}. 可以验证这个矩阵和对角阵相似:
{{13, 28}, {-6, -13}} = Inverse[{{1, 2}, {3, 7}}].{{1, 0}, {0, -1}}.{{1, 2}, {3, 7}}.
上面的 Inverse 表示矩阵的逆. 但是我们可以证明 {{13, 28}, {-6, -13}} 不可能正交相似为对角阵. 证明很简单: 只要验证它和自己的转置不能交换就知道它不是规范阵.

在空间解析几何里面，向量和向量正交的几何意义就是代表两条向量所对应的直线垂直。