向量的一些问题....

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/25 00:42:05
已知X1 X2 Y1 Y2 为实数 求证：(x1x2+y1y2)^2≤[(x1)^2+(y1)^2][(x2)^2+(y2)^2] 当且仅当x1y2=x2y1时等号成立

详细的过程撒。。。

证明
左边减去右边
(x1x2+y1y2)^2-[(x1)^2+(y1)^2][(x2)^2+(y2)^2]
=[(x1)^2][(x2)^2]+[(y1)^2][(y2)^2]+2(x1x2y1y2)-{[(x1)^2][(x2)^2]+[(y1)^2][(y2)^2]+[(x1)^2][(y2)^2]+[(x2)^2][(y1)^2]}
=2(x1x2y1y2)-[(x1)^2][(y2)^2]+[(x2)^2][(y1)^2]}
=-{[x1)(y2)]^2-[(x2)(y1)]^2}
≤0
当且仅当x1y2=x2y1时,等于号成立

0≤(x1y2-x2y1)^2
2x1x2y1y2≤[(x1y2)^2+(x2y1)^2
等式两边各加上(x1x2)^2+(y1y2)^2
(x1x2)^2+(y1y2)^2+2x1x2y1y2≤(x1x2)^2+(y1y2)^2+(x1y2)^2+(x2y1)^2
左边完全平方，右边因式分解
(x1x2+y1y2)^2≤[(x1)^2+(y1)^2][(x2)^2+(y2)^2]得证