一个关于矩阵迹的问题

证法一：
考察矩阵
μI A
B μI
用第一行消第二行的B可以算出行列式，用第二行消第一行的A也能算出行列式，这两个行列式相等。
令λ=μ^2，代入即得AB和BA的特征多项式相等，于是tr(AB)=tr(BA)。

证法二：
若B非奇异，则利用相似变换得tr(AB)=tr(B*AB*B^{-1})=tr(BA)。
若B奇异，|t|充分小时tr(A*(B+tI))=tr((B+tI)*A)，由tr的连续性，令t->0即得。

注：证法一可推广到长方的矩阵，证法二则不行。

最直观的证明是用迹的定义.
记 A=(aij), B=(bij)
则 AB=(Sum_k(aik*bkj)), BA=(Sum_k(bik*akj))
所以 tr(AB)=Sum_i Sum_k(aik*bki), tr(BA)=Sum_i Sum_k(bik*aki)
从而
tr(BA)=Sum_i Sum_k(aki*bik)=Sum_k Sum_i(aki*bik)=tr(AB).

注: 其实证明过程就是应用加法的交换律和结合律. aij, bij 中的 ij 表示下标. Sum_i, Sum_k 分别表示对 i, k 求和.