关于实数连续性和完备性等价证明中的疑惑

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/22 05:26:38
《数学分析》教材里的论证顺序是这样的
首先用未学到的级数知识证明了确界存在定理(同时用戴得金切割法也证明了确界存在定理)
也就是证明了实数的连续性
第二用确界存在定理证明了单调有界数列收敛定理
第三是用单调有界数列收敛定理证明了闭区间套定理
第四是用闭区间套定理证明了Bolzano-Weierstrass定理
最后用Bolzano-Weierstrass定理证明了柯西收敛原理，也就是实数的完备性。
这里说明了实数的连续性包含了实数的完备性

接着又想办法证明了实数的完备性包含了实数的连续性，说明实数的连续性和完备性是等价的
具体步骤如下：
1 用柯西收敛原理证明了闭区间套定理
2 用闭区间套定理证明了确界存在定理

总的论证步骤如上所述。但这里我有了一点疑问，这个论证不是明显有问题嘛。疑惑如下；
在用柯西收敛原理证明闭区间套定理，然后进一步证明确界存在定理的前提，也就是柯西收敛原理，本身是从闭区间套定理证明的Bolzano-Weierstrass定理中衍生证明那个而来的，
同时闭区间套定理其实也是从确界存在定理中衍生出的单调有界数列收敛定理中衍生证明出来的。

那这个过程其实是首先用前提证明结论，然后用结论再证明前提。然后说前提和结论是等价的。
这样一来，不是循环论证么？

或者我怎么理解，这几个定理其实都是一个假设的前提而已，是“描述”一个客观存在的公理，只是从不同角度去“描述”而已。而微积分其实就是建立在这个“假设的公理”上的一系列推理而已。那么说到底，可以把这几个定理代表的“公理”和整个微积分体系看成浑然一体的，换句话说，从这个层次上来看，整个微积分体系也不过是一个假设而已。

不知道我这样理解对么？肯定老师们指点，谢谢
那么，我可不可以这么理解
整个过程可以理解如下：
先从戴得金切割法为出发点证明A（确界存在定理），再从A出发证明B（柯西收敛原理），然后再从B出发证明A。

所以，1，如果从戴得金切割法作为起点来看，整个过程不是循环论证。
2，如果从A作为起点来

你要清楚，实数完全是人造的，人造实数的目的就是解决
（1）无理数
（2）有理数列极限不再是有理数
这两个问题。

定义实数的方法有两种：
（1）戴德金切割
（2）柯西收敛原理
注意此时我们还不知道什么是实数，只能对 有理数 做上面两种定义。

这样定义出来的东西的集合，叫实数集，再用 抽象代数 和 数理逻辑 方法，证明实数集有个 子集 和 有理数集 具有完全一样的性质（指 运算性质 和 排序性质），
这个 子集 的元素叫做 有理实数，因为跟 有理数 性质完全相同，一般不加区别，也叫 “有理数”。

实数几个定理相互等价，可以互相证明。
上面定义实数的方法，实际上把实数的客观实在性归结为有理数的客观实在性，
用类似方法，从整数出发定义有理数，从自然数出发定义整数，
最终实数的客观性归结为自然数的存在性，也就是 皮亚诺自然数公理http://baike.baidu.com/view/342820.htm

如果再深究，就由自然数公理进入 公理集合论，比如ZFC公理系统。
它里面的某些公理是无法证明的，由此产生了哥德尔不完备性定理。
哥德尔第一不完备性定理的意思是说，如果一个系统包含 皮亚诺自然数公理，那在这个系统内部是不能证明自己对错的。

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(1)是对的，
（2）这个说法挺别扭的。从戴德金切割出发可以证明6个定理中任何一个，比如说A，再从A出发去证明其它5个定理，
一般数学书上之所以搞成6个定理互相证明，跟作者只想以这6个定理为起点、不过多探讨微积分以外的东西有关，
（3）对的，数理逻辑中等价连接词的定义就是两个命题同时真或同时假

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