有人知道什么是实数的完备性吗？

关于实数集完备性的基本定理

　　一 区间套定理与柯西收敛准则
　　定义1 区间套: 设 是一闭区间序列. 若满足条件
　　ⅰ） 对 , 有 , 即 , 亦即
　　后一个闭区间包含在前一个闭区间中;
　　ⅱ） . 即当 时区间长度趋于零.
　　则称该闭区间序列为闭区间套, 简称为区间套 .
　　区间套还可表达为:
　　.
　　我们要提请大家注意的是, 这里涉及两个数列 和 , 其中 递增, 递减.
　　例如 和 都是区间套. 但 、
　　和 都不是.
　　区间套定理
　　Th7.1(区间套定理) 设 是一闭区间套. 则在实数系中存在唯一的点 , 使对 有 . 简言之, 区间套必有唯一公共点.
　　二 聚点定理与有限覆盖定理
　　定义 设 是无穷点集. 若在点 (未必属于 )的任何邻域内有 的无穷多个点, 则称点 为 的一个聚点.
　　数集 = 有唯一聚点 , 但 ;
　　开区间 的全体聚点之集是闭区间 ;
　　设 是 中全体有理数所成之集, 易见 的聚点集是闭区间 .
　　Th 7.2 ( Weierstrass ) 任一有界数列必有收敛子列.
　　2. 聚点原理 : Weierstrass 聚点原理.
　　Th 6 每一个有界无穷点集必有聚点.
　　三 实数完备性基本订立的等价性
　　证明若干个命题等价的一般方法.
　　本节证明七个实数基本定理等价性的路线 : 证明按以下三条路线进行:
　　Ⅰ: 确界原理 单调有界原理 区间套定理 Cauchy收敛准则
　　确界原理 ;
　　Ⅱ: 区间套定理 致密性定理 Cauchy收敛准则 ;
　　Ⅲ: 区间套定理 Heine–Borel 有限复盖定理 区间套定理 .
　　一. “Ⅰ” 的证明: (“确界原理 单调有界原理”已证明过 ).
　　用“确界原理”证明“单调有界原理”:
　　T