关于空间完备性的疑问

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/24 02:00:42
比如给定一个线性空间,通常这个空间的完备性是很重要的,但是一个空间的完备性是自身的属性吗?还是说与赋予的范数有关,赋予这个范数就是完备的,赋予另外一个可能空间就不完备了???
对于度量空间也是吗?
谢谢

空间的完备性是与所定义的度量有关
只要是定义了度量的空间就可言其完备性，不一定要有范数
比如连续函数空间C[a,b]
若在其上定义一致度量d(f,g):=max{|f(x)-g(x)|;a<=x<=b}
则C[a,b]是完备的
若在其上定义均方度量d(f,g)是|f(x)-g(x)|^2从a到b积分再开根号
则C[a,b]是不完备的

与空间本身和范数都有关系，所以一般说完备时，严格的说法应为“某空间在某范数下完备”。