菱形ABCD的周长是16，角ABC=60度，E是AB的中点，点P是BD上的一个动点，那么，AP+PE的最小值=？

设F为CD的中点，用全等三角形可以求出PE=PF

当P在AF与BD交点时，为最小(三角形两边之和大于第三边)，三角形ACD为等边三角形，所以AF垂直于DC，所以AF=2√3

找到BC边中点M，由菱形性质可知道PM=PE，所以AP+EP=AP+PM,当A,P,M三点共线时AP+PM最小，所以只要连接AM，与BD的交点就是P。

连接EC和BD的交点就是要求的P点啦，此时AP+EP的值最小
BP=4√3／3

找E点关于BD的对称点M，其实它就是BC边上的中点，连接AM与BD交于P点，连接PE，此时：AP+PE＝AM＝√3/2*BC＝√3/2*（16/4）＝2√3

证明：BD是EM的中垂线，所以：PM＝PE
设BD边上另外有一点Q，使：AQ+QE最小
因BD是EM的中垂线，所以：QE＝QM
从图中可以看出：AQ、QM与AM构成了一个三角形，
所以：AQ+QE＝AQ+QM>AM＝AP+PM＝AP+PE
可知：这样的Q点不存在，所以：P点就是使AP+EP的值最小的点