直属党支部应该有公章吗

您所说的直属党支部，如果是一个单位内部的党支部，不是一个法人单位，是不应有公章的——这样的党支部是不对外展开活动的，哪怕是出具证明，也是需要到党委盖章的。
只有单位具备法人资格（包括社团等法人资格）的党支部，才具备刻制公章的资格和工作需要。
党政机关内部的直属党组、党支部、党总支，哪怕是具备法人资格（如某局），一般也不能刻制支部公章，党组织对外证明事宜，须到机关党委盖章。

可以，但需要报上级党委批准备案

应该!