一道不定积分题目3

设f（1）＝a.f（n）=f（1）^n＝a^n.
f（m/n）^n＝（m）＝a^m:f（m/n）＝a^（m/n）.
f（x）连续：f（x）＝lim（m/n→x）f（m/n）＝lim（m/n→x）a^（m/n）
＝a^x.
f′（x）＝a^x㏑a.f′（0）＝㏑a＝2.a＝e²
∴f（x）＝e^2x

f(x)=e^(2x)
证明：
因为f(x+y)=f(x)f(y)
所以f(x)=f(x)*f(0)
得到：f(0)=1
f(2x)=[f(x)]^2
求导：
f'(2x)=f(x)f'(x)
与上式相除得
f'(2x)/f(2x)=f'(x)/f(x)
对任意的x都成立，所以
f'(2x)/f(2x)=f'(x)/f(x)=f'(0)/f(0)
因为f'(0)=2,f(0)=1
所以f'(x)/f(x)=2
即[lnf(x)]'=2
lnf(x)=2x+C,C为积分常数，待定
因为f(0)=1，所以lnf(0)=0
可得C=0
所以f(x)=e^(2x)