一个函数连续则它有原函数，那么

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/19 23:16:43
它的原函数也是连续的吗?若连续，给出证明
举一个例子，说明连续函数的原函数不是初等函数，且不连续

它的原函数写为F(x)=∫(下限为a 上限为x)f(x)dx
F(x+Δx)-F(x)
=∫(下限为a 上限为x+Δx)f(x)dx-∫(下限为a 上限为x)f(x)dx
=∫(下限为x 上限为x+Δx)f(x)dx
[积分中值定理 η在a和x之间]
=f(η)∫(下限为x 上限为x+Δx)dx
=f(η)Δx

当Δx→0 η→x
lim(F(x+Δx)-F(x))/Δx
=limf(η)
[由f(x)的连续性]
=f(x)

它的原函数连续

不是初等函数的函数有可能连续

答案是否定的
连续函数的原函数甚至可能不是初等函数,更别提连续性了