好几个数学问题（高分）

1、一件儿童服装进价是每件50元，通过市场调查发现，当销售价格（每件x元）当x在50到80之间时，每天售出的件数p＝10^5/(x－40)^2，服装店老板若想每天获得的利润最多，销售价格每件应为多少元？
2、如果a、b、c是一个三角形的边，判断(a^2＋b^2－c^2)^2－4a^2b^2的正负情况并说明理由
3、一个矩形ABCD(A、D在上方，BC在下方)，点P点在BC边下方，能不能找出△PBC、△PAC、△PCD面积之间的关系？
4、正方形ABCD中，E是BD上一点，延长AE交DC于点F，交BC延长线于点G，证明：AE^2＝EF*EG
5、对于任何一个矩形C，是否都存在另一个矩形及实数m，它的周长和面积都是矩形C的m倍？求出m，证明你的结论。

1、解答要点：
根据题意
利润y＝(x－50)*p＝(x－50)*10^5/(x－40)^2
令M＝(x－50)/(x－40)^2
整理得：
Mx^2－(80M＋1)x＋1600M＋50＝0
上述方程的根的判别式为
－40M＋1
所以－40M＋1≥0
所以M≤1/40
即M的最大值是1/40
所以y的最大值是10^5*(1/40)＝2500
此时x＝60
所以若想每天获得的利润最多，销售价格每件应为60元

2、（a^2＋b^2－c^2)^2－4a^2b^2
＝（a^2＋b^2－c^2)^2－(2ab)^2
＝(a^2＋b^2－c^2＋2ab)*(a^2＋b^2－c^2－2ab)
＝[(a＋b)^2－c^2][(a－b)^2－c^2]
＝(a＋b＋c)(a＋b－c)(a－b＋c)(a－b－c)
因为abc是三角形三边，所以a＋b＋c＞0,a＋b－c＞0,a－b＋c＞0,a－b－c＜0
所以(a＋b＋c)(a＋b－c)(a－b＋c)(a－b－c)＜0
所以（a^2＋b^2－c^2)^2－4a^2b^2是负数

3、
解：作PE⊥BC，垂足为E，连接AE、DE
因为四边形ABCD是矩形
所以AB⊥BC，DC⊥BC，AD//BC
所以AB//PE//CD
所以△PEB与△PEA同底等高
所以S△PEB＝S△PEA
同理S△AEC＝S△CDE，S△PCD＝S△CDE
所以S△PAC＝S△PEA＋S△PEC＋S△AEC
＝(S△PEB＋S△PEC)＋S△CDE
＝S△PBC＋S△PCD
所以S△PBC,S△PAC,S△PCD的关系是
S△PAC＝S△PBC＋S△PCD
或
S△PAC－S△PBC＝S△PCD

4、解答要点：
连接EC
因为四边形ABCD是正方形
所以∠ADE＝∠CDE＝45°，AD//BC，AD＝CD