求一数学分析证明

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/29 02:34:33
已知f(x)是R上的二次连续可微函数，
对于任意的x有|f(x)|<=1,
且有[f(0)]^2+[f'(0)]=4

求证存在实数y使得f(y)+f''(y)=0
写错了
是[f(0)]^2+[f'(0)]^2=4

【思路：要求存在实数y使得f(y)+f''(y)=0，即求两边积分即得f(x)+f'(x)=c(c为任意常数)，f(0)+f'(0)=c(c为任意常数，又[f(0)]^2+[f'(0)]=4 ，所以变形：

f'(0)=[f(x）-f(0)]/(x-0),又因为f(x)是R上连续，且对于任意的x有|f(x)|<=1所以lim（x→0）f(x)=f(0)，|f(0)|<=1,又由题知，[f(0)]^2+[f'(0)]=4 ，
f'(0)=4-[f(0)]^2≥3x＞，所以f(x)是在0的某邻域内单调增

又f(x)是R上的二次连续可微函数，同理所以f''(0)=[f'(x)-[f'(0)]/(x-0)，x＞0 x