将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F,边BC折叠后与边BC交于G.

在△EMD中，设DE为y，则EM=AE=2a-y，用勾股定理，y=（4a^2-x^2)/4a
△EMD∽△CGM，CG=4ax/（2a+x）MG=(4a^2+x^2)/(2a+x)
周长=2a-x+4ax/（2a+x）+(4a^2+x^2)/(2a+x）
=4a。所以与x无关

从以下分析可以见到△CMG的周长与M点的位置无关，为常数4a。
连接AM则折痕EF是AM的垂直平分线，EM=EA，∠EMG=∠A=90°；
进而可知，在rt△CMG及rt△DEM中，∠CMG=90°-∠DME=∠DEM，
所以△CMG∽△DEM，其周长之比等于相似比。
△DEM的周长：DM+DE+EM=x+DE+EA=x+DA=x+2a。
设DE=y，有方程EM²=x²+y²=EA²=（2a-y)²，整理得4a²-x²=4ay，
相似比MC/DE=(2a-x)/y，
△CMG的周长：（x+2a)*MC/DE=(X+2a)(2a-x)/y=(4a²-x²)/y=4ay/y=4a。
当M点位于D点或C点时不构成三角形CMG，但原三角形周长衍化为2倍的正方形边长，仍为4a。

设DE=y
三角形DEM相似于三角形MCG
DM=x,DE=y,且EA=EM,EM=2a-DE,还有一个勾股定理可以用，这样，就可以把y用x和a表示，就可以使得GC用a,x表示。
MG用a,x表示。

最后求出周长是2a。

DSA