UC知道应用构造法证明不等式 可是一点思路都没有 谢谢各位了
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/16 00:31:16
已知函数f(x)=x-sinx,数列{an}满足0＜a1＜1，an+1=f(an),n=1,2,3……
<1> 证明 0＜an+1＜an＜1
<2>证明an+1＜(1/6)×（an)^3
它提示是构造一个函数然后做差求导，确定单调性。可是还是一点思路都没有，各位能不能给出具体一点的解答过程啊？
<1> 证明 0＜an+1＜an＜1
<2>证明an+1＜(1/6)×（an)^3
它提示是构造一个函数然后做差求导，确定单调性。可是还是一点思路都没有，各位能不能给出具体一点的解答过程啊？
(1)f(x)=x-sinx,f'(x)=1-cosx
0<x<1时f'(x)>0,f(x)是增函数,f(0)<f(x)<f(1)<1所以0<f(x)<1
因为0<a1<1,an+1=f(an),由数学归纳法得0<an<1
且an+1=an-sinan<an,所以有0<an+1<an<1
(2)求证不等式即(1/6)an^3-an+1=(1/6)an^3-an+sinan>0①
构造函数g(x)=(1/6)x^3-x+sinx(0<x<1),则g'(x)=(1/2)x^2-1+cosx
g''(x)=x-sinx,由(1)知g''(x)>0,所以g'(x)单增,g'(x)>g'(0)=0
所以g(x)单增且g(x)>g(0)=0,故不等式①成立
因此an+1＜(1/6)×（an)^3 成立。
证毕！