好象不难的数学题目,

与x轴相切的圆的半径是圆心纵坐标的绝对值
所以(x-a)^2+(y-b)^2=b^2
把AB代入
a^2+(1-b)^2=b^2
(4-a)^2+(m-b)^2=b^2

a^2+(1-b)^2=b^2
a^2=b^2-(1-b)^2=b^2-b^2+2b-1=2b-1
b=(a^2+1)/2

(4-a)^2+(m-b)^2=b^2
(4-a)^2+m^2-2mb+b^2=b^2
a^2-8a+16+m^2-2m*(a^2+1)/2=0
(1-m)a^2-8a+(m^2-m+16)=0
只有一个圆，所以方程只有一个解
所以判别式等于0
64-4(1-m)(m^2-m+16)=0
4m^3-8m^2+20m=0
4m(m^2-2m+5)=0
因为m^2-2m+5=(m-1)^2+4>0,即不会等于0
所以m=0

代入(1-m)a^2-8a+(m^2-m+16)=0
a^2-8a+16=0
(a-4)^2=0
a=4
b=(a^2+1)/2=17/2
所以(x-4)^2+(y-17/2)^2=289/4

可设圆为(x-a)^2+(y-b)^2=b^2
把A,B代入得
a^2-2b+1=0
a^2-8a+m^2-2mb+16=0
消去b得(1-m)a^2-8a+m^2-m+16=0,方程解唯一,所以
1)m=1时a=2,b=5/2,圆方程为(x-2)^2+(y-5/2)^2=25/4
2)△=0,整理得
m(m^2-2m+17)=0,所以m=0,a=4,b=17/2,圆为(x-4)^2+(y-17/2)^2=289/4

因为圆要与X轴相切，即与X轴有且仅有一个交点，又要过点（4，m）。所以点（4，m）即为切点，所以点（4，m）既在圆上又在X轴上，所以m=0。
由于圆与X轴切点的横坐标为4，所以圆心的横坐标也为4。设圆心纵坐标为b，由题意得圆的半径也是b，可设圆的方程为（x-4）^2+（y-