设a，b，c是正实数，满足a+b+c=4。求

题 设a,b,c是正实数，满足a+b+c=4。求
P=ab^3+bc^3+ca^3的最大值。

证明 对于三元轮换对称，共有两种形式，即
P=ab^3+bc^3+ca^3 (1)
Q=ba^3+cb^3+ac^3 (2)
P-Q=(a+b+c)*(a-b)*(b-c)*(c-a)
于是可得
当c≥b≥a [或b≥a≥c，a≥c≥b],有P≥Q.
因此我们只需证明当c≥b≥a.P的最大值即可.
我们有如下结论:
P=ab^3+bc^3+ca^3<27(a+b+c)^4/256 (3)
为此先证
P(c,b,a)<P(c+a,b,0) (4)
因为 P(c+a,b,0)=b(c+a)^3,
所以 P(c+a,b,0)-P(c,b,a)=b(c+a)^3-(ab^3+bc^3+ca^3)
=3abc^2+3bca^2+ba^3-ab^3=2abc^2+3bca^2+ba^3+ab(c^2-b^2)>0
故(4)式成立.
然后再证
P(c+a,b,0)=b(c+a)^3≤27(a+b+c)^4/256 (5)
(5)式展开为
27(c+a)^4-148b(c+a)^3+162b^2*(c+a)^2+108b^3*(c+a)27b^3≥0
<==> (c+a-3b)^2*[27*c+a)^2+14b*(c+a)+3b^2]≥0
显然成立,故(5)得证.从而不等式(3)成立.
所以P=ab^3+bc^3+ca^3的最大值为27*4^4/256=27.

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