离原点最远的点的条件极值

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/08 05:56:26
这是一道关于多元函数微分的条件极值里面的问题，题目如下：
满足条件x^3-3xy+y^3=4(x>0,y>0)的点之中，求离原点最远的点。

我想的是离原点最远 就是(x^2+y^2)^(1/2)的最大值，即x^2+y^2的最大值
又因为x^2+y^2在x,y大于零的时候是单调函数，所以在最远的那个点有极大值？

我就是不知道该怎么把最大值问题换成这个极值问题。
希望哪位大侠给我解释一下
谢谢，谢谢，再谢谢

那位九级的大大 你是怎么从234得到那组解的
能不能稍微把过程说一说

l=x^2+y^2......①
x^3-3xy+y^3=4
x^3-3xy+y^3-4=0 ......②
λ(x^3-3xy+y^3-4)=0
l=x^2+y^2+λ(x^3-3xy+y^3-4),
l对x的偏导等于0,即2 x + (3 x^2 - 3 y) λ =0,......③
l对y的偏导等于0,即2 y + (-3 x + 3 y^2) λ =0,...... ④
由②③④得一组解:x=2,y=2,λ=-2/3.
于是当x=2,y=2时,距离平方取极值,此时距离平方为8,距离为2√(2).

三个方程三个未知数,应该可以解的吧.你试试就出来了.
由③④消去λ得(2 y)/(3 (x - y^2)) == -(2 x)/(3 (x^2 - y))
(2 (x - y) (x + y + x y))/(3 (x^2 - y) (x - y^2))=0,即
(x - y) (x + y + x y) =0 ,....⑤
由⑤得当x,y均大于0时,(x + y + x y)>0于是(x-y)=0,
②式x^3-3xy+y^3-4=0中令x=y得(-2 + y) (15/8 + 2 (1/4 + y)^2)=0
于是x=y=2,代入⑤得λ=-2/3.

max x平方+y平方
s.t. y-f(x)=0
用拉格朗日乘子法就好啦。

多元函数微分的条件极值
应该是要求导，令导数=0
再加上两个边界值吧

x^3-3xy+y^3＝0
如果它确定了一个y关于x的函数，那么求导时，只要注意运用复合函数求导法则对y求导就可以
3x²-(3y+3xy')+3y²y'=0
3x²-3y+(3y²-3x)y'=0
y'=(3y-3x²)/(3y²-3x)