初二（上）轴对称图形与等腰三角形的证明题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/30 18:22:06
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在等腰三角形ABC中，底边BC上有任意一点P，PD垂直AB，PE垂直AC，FC为AB边的高。
（1）求证：PD+PE=CF
（2）若P点在BC的延长线上，那么PD，PE，CF存在什么等式关系？写出你的猜想并证明。

1、过p作CF的垂线交CF边于Q。
可得到矩形DPQF，所以DP=QF,然后由一对对顶角，一对直角，和一个公共边PC,可证到三角形PEC全等于三角形CQP,所以边QC=EP,CQ+QF=CF,所以DP+EP=CF
2、PD+PE=CF ，过C作PD的垂线交PD于Q，前面对于DP=QF的证明同1问。证明三角形PEC全等于三角形PQC。证明如下：PC为公共边，角PQC=角PEC=90度，角QCP=角B(两线平行，同位角相等)，角ECP=角ACB（对顶角相等）三角型为等腰三角型，所以角B=角ACB.三角形全等证明后可得边PQ=PE,所以PD+PE=CF

（1）连接AP，得到三角形ABP和三角形ACP
因为三角形ABC为等腰三角形，所以AC=AB
所以：三角形ABP的面积为0.5×AB×DP
三角形ACP的面积为0.5×AB×EP
三角形ABC的面积为0.5×AB×DP
即：三角形ABP的面积＋三角形ACP的面积＝三角形ABC的面积
0.5×AB×DP＋0.5×AB×EP＝0.5×AB×DP
所以PD+PE=CF

（2）以此类推～