UC知道证明根号2是无理数（之后给高分）
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/06 02:34:50
证明根号2是无理数
如果√2是有理数，必有√2=p/q（p、q为互质的正整数）
两边平方：2=p^/q^
p^=2q^
显然p为偶数，设p=2k（k为正整数）
有：4k^=2q^,q^=2k^
显然q业为偶数，与p、q互质矛盾
∴假设不成立，√2是无理数
有个地方想不明白，怎么会设p=2k，4k^=2q^呢？应该是2k^=2q^吧
但要是这样就没法算了，请各位大虾解答一下！
如果√2是有理数，必有√2=p/q（p、q为互质的正整数）
两边平方：2=p^/q^
p^=2q^
显然p为偶数，设p=2k（k为正整数）
有：4k^=2q^,q^=2k^
显然q业为偶数，与p、q互质矛盾
∴假设不成立，√2是无理数
有个地方想不明白，怎么会设p=2k，4k^=2q^呢？应该是2k^=2q^吧
但要是这样就没法算了，请各位大虾解答一下！
因为p=2k
所以p^2=(2k)^2=4k^2
所以4k^2=2q^2
p^2=2q^2
所以p^2是偶数
则p是偶数
令p=2m
则4m^2=2q^2
q^2=2m^2
同理可得q是偶数
这和pq互质矛盾
所以假设错误
所以根号2是无理数
显然p为偶数，设p=2k（k为正整数）
(2k)^=2q^
有：4k^=2q^,q^=2k^
应该能看懂了吧
要连系数一起带
证明：
假设根号2为有理数，则可表示为两个最简整数比的形式：
根号2=P/q
则两边平方得：2= p2/q2
因为 2q2必为偶数
所以 p必为偶数，设为p=2m，（m属于Z）
则 p2=4m2=2q2，q2=2m2
所以，p必为4的倍数，q必为2的倍数！
则p，q必有公因数2，p/q不为最简整数比！
与假设相矛盾
所以，假设错误，根号2为无理数！