高一数列题~~~~~~~~~~~~~

解：此数列可分成两个数列

①1 + 3 + 5 + 7 + ……（等差）

②1\2 + 1\4 + 1\8 + 1\16 + ……（等比）

S1 = (a1 +an)×n\2 = (1+2n-1)×n\2 = n^2

S2 = {1/2×[1-(1/2)^n]}/(1-1/2)=1-(1/2)^n

∴S = S1 + S2 = n^2 - (1/2)^n + 1

1又1/2=1+1/2
3又1/4=3+1/4
......
依次下去可以把这个数列分成两个数列
一个数列是:1/2,1/4,1/8,1/16.....
另一个是:1,3,5,7,9,.....
第一个为等比数列求和,公比为1/2 那么
S1={1/2*[1-(1/2)^n]}/(1-1/2)=1-(1/2)^n
第二个为等差数列 公差是2 an=2n-1
S2=n(a1+an)/2=n^2
所以:S=S1+S2=1-(1/2)^n+n^2

前n项和为

1+3+5+...+2n-1+1/2+1/4+...+1/2^n
=(1+2n-1)n/2+1-1/2^n
=n^2-1/2^n+1

原式之和可由整数部分和分数不分相加而成，整数部分构成等差数列，分数部分为等比数列，结果为n的平方加上1减去1/2的n次方