一道数学中考压轴题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/30 05:54:58
如图①,在Rt△ABC 中,∠B= 90°,∠ CAB=30°. 它的顶点A的坐标为（10，0），顶点B的坐标为（5，5√3 ），AB=10，点P从点A出发，沿A→B→C的方向匀速运动，同时点Q从点D（0，2）出发，沿y轴正方向以相同速度运动，当点P到达C点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒.⑴求∠BAO的度数；⑵当点P在AB上运动时，△OPQ的面积S（平方单位）与时间t（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图②），求点P的运动速度；⑶求⑵中面积S与时间t之间的函数关系式及面积S取最大值时点P的坐标；⑷如果点P、Q保持⑵中的速度不变，那么点P沿边AB运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而增大；沿着边BC运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而减小，当点P沿这两边运动时，使∠OPQ=90° 的点P有几个？请说明理由。图
如果过程具体，再追加10分，谢谢~

解：
（1）由点B的坐标为（5，5√3 ），AB=10
可以知道sin∠BAO=5√3/10=√3/2
所以∠BAO是60度角（同时根据题意可以得出CA垂直OA）

（2）△OPQ的面积S=底边OQ*高*1/2
假设P点和Q的运动速度为v（两点运动速度一样，这是题意）
这里，我们可以看到，底边OQ=vt+2；高为P点的横坐标，过P做PE垂直OA交OA于点E，可以看出来高=10（这是A点横坐标）-AE=10-1/2 AP（根据前面得出的60度角结果）=10-vt/2
所以△OPQ的面积S=（vt+2）（10-vt/2）/2------★
根据图②当t=5时，s=30，解上式可以算出v=2或者v=1.6
这时，本小问的最难点来了——抛物线S=（vt+2）（10-vt/2）/2，通过化简后，可以得出其对称轴（t=-b/2a）为t=9/v。我们通过图②可以看到，抛物线的对称轴t<5，而v=1.6时，t=9/1.6>5，所以v=1.6不符合题意。
所以，v=2是本小题的唯一解

（3）上题中标记★的式子即为面积S与时间t之间的函数关系式
同时，当抛物线处于顶点时，s值最大。这时，t=9/v=4.5
又由（2）题前面的分析，P点横坐标=10-vt/2，代入后得横坐标=5.5，且由图及之前结果知纵坐标=（10-5.5）√3 =4.5√3
即点P（5.5，4.5√3 ）

(4)本小问比较难了。如果全题是15分，那么本小问应该不会超过3分。考试的时候可以考虑舍去。
可以得分的解答方法如下：
当P运动至点B时，可以计算得P点坐标为（5，5√3），Q点坐标为（0，12），角POQ=30度。
这时可以算得三角形三边各自的长度。
并且我们发现QO的平方>PO的平方+PQ的平方。所以角OPQ为钝角（余弦定理的衍生）
由于点P沿边AB运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而增大。所以在P从A到B移动的过程中，必有一点，使得角OPQ=90度。

同理可以假设P移到C，这时可以根据余弦定理的衍生，得出角OPQ是什么角。根据P沿