「すみません」と「すいません」

正式な形は「すみません」です。
动词「すむ（済む）」の连用形＋丁宁の助动词「ます」の未然形＋打ち消しの助动词「ぬ（ん）」の终止形、
と品词分解されます。

「すいません」は、「すみません」がなまったもので、话し言叶に特有の形です。会话で使う分には问题ありませんが、
俗っぽい感じがするのは确かです。
书き言叶にはふさわしくありません。

なぜ「すいません」となまったのか、言いやすいように音が変わったということでしょう。
さらになまって「すんません」などとも言われます。

なお、「すみません」も「すいません」も、目上の人には使わない用法です（岩波国语辞典による）。
感动词として（咄嗟に谢る言叶として）、「すみません」あるいは「すいません」と、つい口に出てしま
うのは、日本语文化圏に育った人间としてある意味当然の行为です。
しかし、反省する时间があったにもかかわらず、书き言叶や谢罪の言叶に「すみません」あるいは
「すいません」を使えば、教养のないやつ、と思われる可能性は高いと思います。