近似 二项式展开 泰勒级数

泰勒展开意义是在某点邻域里展开式、要求：1，在该点函数值等于展开式值、2。在该邻域内两边各阶导数近似相等、有了以上两点、就可认为泰勒展开式是该函数在某点邻域精确展开式。
二项式展开是两边完全相等的展开式，不管输入什么，而泰勒展开是近似的。

king2will 回答正确

当计算（x+y)^10的近似值时，会使用“二项式展开”或用“泰勒级数”展开，
请问这两种展开有什么意义上的不同? 两种方法有何不同。

二项式展开应该是麦克劳林级数展开的特例，
麦克劳林级数展开是泰勒级数展开的特例。
(x+y)^m的二项式展开为∑[c[m,i] * x^i * y^(m-i),i从0,m],

麦克劳林级数展开时,先写出:
x^m * (1 + (y/x) )^m
再展开后项:
x^m * (1 + (y/x))^m
= x^m * ∑[m!/(m-i)/i! * (y/x)^(m-i),i从0,m],当i>m时,系数均为0,
= x^m * ∑[c[m,i] * (y/x)^(m-i),i从0,m],
= x^m * ∑[c[m,i] * y^(m-i) / x^(m-i) ,i从0,m],
= ∑[c[m,i] * y^(m-i) * x^i ,i从0,m],

所以两种的展开实质是一样的,当然你也可以以y^m * (1 + (x/y) )^m
的形式展开,只是相当于将顺序换了一下,结果是:
= ∑[c[m,i] * x^(m-i) * y^i ,i从0,m].

二项式展开应该是比较精确的。而且这种式子的一般做法就是用二项式展开

而泰勒级数展开是求近似值，当对结果影响不大时，可以通过控制展开的级数来化简运算

“二项式展开”是“泰勒级数”展开的特歀。
“泰勒级数”展开，是对任意无穷可微函数作的。
而（x+y)^10的“二项式展开”就是具体函数z＝（x+y）^10的泰勒级数”展开。
（x,y中，一个看成常数，一个看成自变量。通常用形式（1+x）^10就清楚啦）。