如果f(x)为周期函数,且在周期(0,T)上定积分为0,则f(x)的任意原函数也是以T为周期的函数,怎么证明?

你好！
y=1/2x^2-x+3/2=1/2(x-1)^2+1
若x=1在定义域内，则y最小=1
所以a=1
y开口向上
所以x>=1时是增函数
则只要找出x=b时y=b的b值即可
则1/2b^2-b+3/2=b
b^2-4b+3=0
(b-1)(b-3)=0
显然b>a=1
所以b=3

若x=1不属于定义域
若1<a<b
则此时y是增函数
所以必有x=a，y=a
x=b，y=b
即解方程1/2x^2-x+3/2=x
x^2-4x+3=0
x=1,x=3
则a=1,b=3,和1<a<b矛盾

若a<b<1
则y是减函数
所以x=a，y最大=b
x=b，y最小=a
所以1/2a^2-a+3/2=b
1/2b^2-b+3/2=a
相减
1/2(a^2-b^2)-a+b=b-a
(a+b)(a-b)=0
显然a-b不等于0
所以a+b=0
a=-b,且a<b<1
所以a<0,0<b<1
则-1<a<0

综上
-1<a<0<b<1,且a+b=0
或a=1,b=3

假设F(x)为原函数。

∫f(x)=F(T)-F(0)。对于任意的Δx，
因为在周期(0,T)上定积分为0，
所以F(T+Δx)-F(Δx)=∫f(x+Δx)=∫f(x)=0,所以F(T+Δx)=F(Δx)。
因为Δx的任意性，可得F(x)为周期函数。