极坐标下旋转体体积

r = a(1 + cosθ),绕极轴旋转，求体积

0 <= θ <= π.

曲线上一点(θ,a(1 + cosθ)) 到极轴的距离的平方为，
[a(1 + cosθ)sinθ]^2

当θ变化到(θ+dθ)时，点在曲线上变化的弧长为，
a(1+cosθ)dθ

所以 ，
旋转体的体积

= 关于θ的从0到π的定积分，被积函数为{π[a(1 + cosθ)sinθ]^2a(1+cosθ)}

= 关于θ的从0到π的定积分，被积函数为{a^3π(1 + cosθ)^3[sinθ]^2}

= 关于θ的从0到π的定积分，被积函数为{a^3π[1 + 3cosθ + 3(cosθ)^2 + (cosθ)^3 ](sinθ)^2}

而
关于θ的从0到π的定积分，被积函数为{a^3π(sinθ)^2}

= 2a^3π*关于θ的从0到π/2的定积分，被积函数为{[1-cos(2θ)]/2}

= 2a^3π[π/4]

= a^3π^2/2

关于θ的从0到π的定积分，被积函数为{a^3π[3cosθ](sinθ)^2}

= 0

关于θ的从0到π的定积分，被积函数为{a^3π[3(cosθ)^2](sinθ)^2}

= 3a^3π/2*关于θ的从0到π/2的定积分，被积函数为{[sin(2θ)]^2}

= 3a^3π/2*关于θ的从0到π/2的定积分，被积函数为{[1-cos(4θ)]/2}

= 3a^3π/2[π/4]

= 3a^3π^2/8

关于θ的从0到π的定积分，被积函数为{a^3π[(cosθ)^3 ](sinθ)^2}

= 0.

所以，
旋转体的体积

= 关于θ的从0到π的定积分，被积函数为{a^3π[1 + 3cosθ + 3(cos