复合simpson求积公式设计(C语言)

Nweton—Cotes公式的求积余项表明，求积节点n越大，对应的求积公式精度越高，但由于Nweton—Cotes公式在n>8时数值不稳定，因此不能用增加求积节点数的方法来提高计算精度。实用中常将求积区间[a，b]分成若干个小区间，然后在每个小区间上采用数值稳定的Nweton—Cotes公式求小区间上的定积分，最后把所有小区间上的计算结果相加来作为原定积分的近似值。采用这种方法构造的求积公式就称为复合求积公式。复合求积公式具有计算简单且可以任意逼近所求定积分值的特点，这是Nweton—Cotes公式一般做不到的。常用的复合求积公式有复合梯形公式和复合Simpson公式。

① 复合梯形公式

取等距节点 xk=a+kh ,h=(b-a)/n ,k=0,1,....,n 将积分区间[a,b]n等分，在每个小区间[xk，xk+1] k=0,1,...n-1上用梯形公式做近似计算，就有

得求积公式

（15）是称为复合梯形公式。

通常记（15）的右端为

它称为 T 形值。因为

故复合梯形公式的求积余项为

如果|f"(x)|≤M2，由于a,b是有限数，故若给定计算精度ξ，由（16），令

即只要取h满足（17），及n=(b-a)/h，利用复合求积公式（15）计算，就能得到计算误差小于ξ的定积分近似值。

②复合Simpson公式

取[a,b]上的等距节点 xk=a+kh ,h=(b-a)/n ,k=0,1,...n，将[a,b]n等分，在每个小区间[xk，xk+1]上用Simpson公式做近似计算，就有

式中xk+1/2 = xk+h/2，于是求得下面复合Simpson公式：

利用Simpson公式的求积余项，可以得到复合Simpson公式的求积余项为：

从复合Simpson公式的求积余项可以看出复合Simpson公式比复合梯形公式好，不过前者计算量大些。复合Simpson公式也称为复合抛物线公式。