请证明:在锐角三角形中,一个内角的正弦值大于另一个角的余弦值.

1.
设△ABC为锐角△,则∠A,∠B ,∠C<π/2
∠A+∠B = π-∠C > π/2,
0< π/2-∠B < ∠A <π/2
sin∠A>sin(π/2-∠B)=cos∠B
由A,B,是任选的,说明在锐角三角形中,一个内角的正弦值大于另一个角的余弦值.

2.
设△ABC,下面证明cosA+cosB>0
若∠A,∠B都小于π/2,cosA>0,cosB>0,结论成立
若∠A,∠B之一大于π/2,不妨设∠A>π/2
则cosA=-cos(π-∠A)
固只需证明cos(π-∠A) < cos∠B,
π-∠A,∠B都在[0,π/2]区间上,且π-∠A > ∠B
所以cos(π-∠A) < cos∠B,

1、
不妨设第一个内角为A，另一个内角为B，剩下那个为C
B=pi-A-C
cosB=sin(pi/2-B)=sin(pi/2-pi+A+C)=sin[A+(pi/2-C)]
因为是锐角三角形，所以pi/2-C>0,且pi/2-B=A+(pi/2-C)∈(0,pi/2)
在(0,pi/2)上，sin(x)为增函数，
A<A+(pi/2-C)

所以sinA<sin[A+(pi/2-C)]=cosB

2、
任意两个内角至少有一个是锐角，设此锐角为A，另一个角为B
cosA+cosB
=cosA+cos(pi-A-C)
=cosA-cos(A+C)
=cosA-cosAcosC+sinAsinC
=cosA(1-cosC)+sinAsinC
在(0,pi)上的sin值都是正的，所以sinAsinC>0
又因为设A为两个内角中的锐角，所以cosA>0,
1-cosC>0是显而易见的。
所以cosA(1-cosC)>0

最后cosA+cosB>0

单位圆