在锐角三角形ABC中,求证sinA>cosB

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/13 23:29:55

可能繁了点，但绝对正确严密，无需讨论
倒推：
A，B为锐角，则sinA，cosB∈(0,1)
即证(sinA)^2>(cosB)^2
即证(sinA)^2+(sinB)^2>1，运用降幂公式
即证1/2*(1-cos2A)+1/2*(1-cos2B)>1
即证cos2A+cos2B<0，运用和差化积公式
即证2cos(A+B)cos(A-B)<0
即证-cosCcos(A-B)<0
由A，B，C为锐角，知(A-B)∈(-90°,90°)
因此cosC>0,cos(A-B)>0
即得-cosCcos(A-B)<0，命题得证。

静候简便方法……

因为A+B=180-C>90
所以A>90-B,有A,90-B均大于0小于90度
所以sinA>sin(90-B)=cosB