求解直线方程题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/31 22:16:29
过点p（2,1）作直线l交x轴，y轴的正半轴于A、B两点，O为原点求：（1）当三角形AOB面积最小时的直线l的方程（2）当OA的绝对值加OB的绝对值最小时，求l的方程（3）当PA的绝对值乘以PB的绝对值最小时，求直线l的方程

设l：y-1=k(x-2),其中k<0
交x轴A(2-1/k,0),交y轴B(0,1-2k)

(1)S△AOB=0.5*(1-2k)*(2-1/k)=0.5(4-1/k-4k)
当且仅当1/k=4k时，有(1/k+4k)max,即有S△AOBmin。
此时，k=-0.5
所以y-1=-0.5(x-2)，即x+2y-4=0

(2)因为k<0
所以|OA|+|OB|=(2-1/k)+(1-2k)=3-1/k-2k
当且仅当1/k=2k时，有(1/k+2k)max,即有(|OA|+|OB|=)min。
此时，k=-(√2)/2
所以y-1=-(√2)/2(x-2)，即x+(√2)y+(2-√2)=0

(3)由A(2-1/k,0),B(0,1-2k),p(2,1)
得|PA|^2=(1/k)^2+1,|PB|^2=4+(2k)^2
(|PA|*|PB|)min,即(|PA|^2*|PB|^2)min
[(1/k)^2+1]*[4+(2k)^2]=8+4[k^2+(1/k)^2]
当且仅当k=-1时，有上式最小值16，即(|PA|*|PB|)min=4
所以y-1=-1(x-2),即x+y-3=0