黑板上有三个正整数abc,允许进行如下操作,擦去其中任何一个数,写下两个数的平方和

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/15 03:38:26
黑板上有三个正整数abc,允许进行如下操作,擦去其中任何一个数,写下两个数的平方和.如:擦去a,写上b²+c²,这次操作完成后,黑板上的三个数为b.c.b²+c²问
(1)当黑板上的是三个数分别为1.2.3时,能否经过有限的操作使得三个数变为56,57,58(不记顺序).若能,请给出方法,不能,请说明理由
(2)是否存在三个小于2000的正整数a,b,c经过有限的操作使得其中一个数变为为2007.若能,写出正整数a.b.c,并给出方法,不能,请说明理由
(3)是否存在三个小于2000的正整数a,b,c经过有限的操作使得其中一个数变为为2008.若能,写出正整数a.b.c,并给出方法,不能,请说明理由

1.不能.
由于经过操作出来的数都是另两个数的平方.还没有任何两个相邻的自然数的平方会等于另一个相邻的自然数,那正整数当然不例外.正如56的平方加上57的平方不可能等于58,换另外两个也同样不可能.

2.不能.
因为新操作出来的数都是另两个数的平方,现将2007分解,只能分出9*223,而223为不可再分解的质数,所以无法成为两个正整数的平方和.

3.还是不能.
和第2问一样,将2008进行分解,也只能分解成8*251,而251也是一个质数,同样达不到是两个正整数的平方和的目的.