1²+2²+3²+...2001+²2002²除以7的余数是

先算1+2+3+…+n记An=1+2+3+…+n
n^2-(n-1)^2=2n-1
(n-1)^2-(n-2)^2=2(n-1)-1
… …
1^2-0^2=2*1-1
两边求和得
n2=2An-n
An=n(n+1)/2
记Bn=1^2+2^2+3^2+…+n^2
n^3-(n-1)^3= 3n^2-3n+1
(n-1)^3-(n-2)^3=(n-1)^2-3(n-1)+1
… …
1^3-0^3=3*1^2-3*1+1
两边求和得
n^3=3Bn-3 An+n
解得
Bn=n(2n+1)(n+1)/6
有上得，
1²+2²+3²+......+200²
=200*（200*2+1）*（200+1）/6
=2686700

设An=(7n+1)^2+(7n+2)^2 +(7n+3)^2+(7n+4)^2+(7n+5)^2+(7n+6)^2+(7n+7)^2
n=0....286
1,2,3,.................2002的平方相加的和除以7的余数=An/7的所有余数的和（n=0....286）
A1/7=(1+4+9+16+25+36+49)/7=20余数为0
An/7余数也为0。
所以1,2,3,.................2002的平方相加的和除以7的余数为0。